Bằng cách thực hiện một dãy hữu hạn các phép biến đổi hàng sơ cấp, gọi là phép khử Gauss, một ma trận bất kỳ có thể được đưa về dạng hàng bậc thang. Bởi các phép biến đổi sơ cấp bảo toàn không gian hàng của ma trận, không gian hàng của dạng hàng bậc thang rút gọn là giống với không gian hàng của ma trận ban đầu.

Dạng hàng bậc thang thu được không phải là duy nhất; bởi một ma trận bất kỳ ở dạng hàng bậc thang có thể chuyển đến một dạng hàng bậc thang tương đương, bằng cách cộng một hàng với một bội của một trong các hàng phía trên, ví dụ:

[ 1 3 − 1 0 1 7 ] → cộng hàng 2 vào hàng 1 [ 1 4 6 0 1 7 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {\text{cộng hàng 2 vào hàng 1}} {\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}

Tuy nhiên, mỗi ma trận chỉ có duy nhất một dạng hàng bậc thang rút gọn. Trong ví dụ trên, dạng hàng bậc thang rút gọn có thể được tìm ra như sau

[ 1 3 − 1 0 1 7 ] → trừ 3 × (hàng 2) vào hàng 1 [ 1 0 − 22 0 1 7 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {\text{trừ 3 × (hàng 2) vào hàng 1}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}

Điều này có nghĩa là các hàng khác zero của dạng hàng bậc thang rút gọn là hệ sinh bậc thang rút gọn duy nhất của không gian hàng của ma trận ban đầu.